Калуга, Калужская область, Россия
УДК 517.911.5 Дифференциальные уравнения с разрывными и многозначными правыми частями
Рассмотрены математические модели стационарной диффузии и катодолюминесценции неравновесных неосновных носителей заряда, генерируемых широким электронным пучком в однородных и многослойных полупроводниковых материалах. Использование широких электронных пучков позволяет свести эти задачи к одномерным и описать эти математические модели обыкновенными дифференциальными уравнениями. Рассмотрены следующие модели диффузии неравновесных неосновных носителей заряда в однородных полупроводниках: модель коллективного движения и модель независимых источников для полуограниченных мишеней~--- и модель, описывающая диффузионный процесс в многослойной полупроводниковой структуре конечной толщины, имеющей произвольное конечное число слоёв, а также модель катодолюминесценции, возникающей при излучательной рекомбинации генерированных электронным пучком неравновесных носителей заряда. Проведено исследование рассмотренных моделей, включая доказательство единственности решений и непрерывной зависимости решений от данных задачи для полуограниченных материалов. Получены оценки решения рассматриваемых задач, позволяющие использовать их в электронно--зондовых технологиях.
математическая модель, стационарное дифференциальное уравнение тепломассопереноса, обыкновенные дифференциальные уравнения, задача Коши, катодолюминесценция.
1. Бонч-Бруевич, В. Л., Калашников, С. Г. Физика полупроводников: Учебн. посо- бие для вузов. - М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1990. - 685 с.
2. Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках. - М.: Мир, 1973. - 384 с.
3. YACOBI, B. G., HOLT, D. B. (1990) Cathodoluminescence microscopy of inorganic solids. Plenum Press, New York. 354 pp.
4. Степович, М. А. Количественная катодолюминесцентная микроскопия прямозон- ных материалов полупроводниковой оптоэлектроники: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук (01.04.07). - М.: Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, 2003. - 351 с
5. Броудай, И., Мерей, Дж. Физические основы микротехнологии. - М.: Мир,1985. - 496 c.
6. Брандон, Д., Каплан, У. Микроструктура материалов. Методы исследования и контроля. - М.: Техносфера, 2004. - 377 с.
7. Растровая электронная микроскопия для нанотехнологий. Методы и применение / Под ред. У. Жу и Ж. Л. Уанга. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 582 с.
8. Поляков, А. Н., Степович, М. А., Туртин, Д. В. Математическое моделирование катодолюминесценции экситонов, генерированных узким электронным пучком в полупроводниковом материале // Известия РАН. Серия физическая. - 2016. - Т. 80, No 12. - С. 1629-1633.
9. POLYAKOV, A. N., SMIRNOVA, A. N., STEPOVICH, M. A., TURTIN, D. V. (2018) Qualitative properties of a mathematical model of the diffusion of excitons generated by electron probe in a homogeneous semiconductor material. Lobachevskii Journal of Mathematics. 39(2). p. 259-262.
10. STEPOVICH, MIKHAIL A. Turtin, Dmitry V., Seregina, Elena V., Kalmano- vich, Veronika V. (2019) On the correctness of mathematical models of time-of-flight cathodoluminescence of direct-gap semiconductors. ITM Web of Conferences. 30. p. Art. No. 07014.
11. STEPOVICH, M. A., TURTIN, D. V., SEREGINA, E. V., and POLYAKOV, A. N. (2019) On the qualitative characteristics of a two-dimensional mathematical model of diffusion of minority charge carriers generated by a low-energy electron beam in a homogeneous semiconductor material. Journal of Physics: Conf. Series. 1203. p. Art. No. 012095.
12. TURTIN, D. V., SEREGINA, E. V., STEPOVICH, M. A. (2020) Qualitative Analysis of a Class of Differential Equations of Heat and Mass Transfer in a Condensed Material. Journal of Mathematical Sciences. 250(1). p. 166-174.
13. Туртин, Д. В., Серегина, Е. В., Степович, М. А. Качественный анализ одного класса дифференциальных уравнений тепломассопереноса в конденсированном веществе // Проблемы математического анализа: Межвузовский сборник. - 2020. - Вып. 104. - С. 149-156.
14. Филачев, А. М., Таубкин, И. И., Тришенков, М. А. Твердотельная фотоэлектро- ника. Фотодиоды. - М.: Физматкнига, 2011. - 448 с.
15. Филачев, А. М., Таубкин, И.И., Тришенков, М. А. Твердотельная фотоэлектро- ника. Фоторезисторы и фотоприёмные устройства. - М.: Физматкнига, 2012. - 368 с.
16. Алексеев Алексей, Красовицкий Дмитрий, Петров Станислав, Чалый Виктор. Многослойные гетероструктуры AlN/AlGaN/GaN/AlGaN - основа новой компо- нентной базы твердотельной СВЧ-электроники // Компоненты и технологии. - 2008. - No 2. - C. 138-142.
17. Долгий А. Л., Писаренко Н. С., Бондаренко В. П. Гетероэпитаксиальные пленки нитрида галлия на пористом кремнии // Материалы и структуры современной электроники: Материалы IX международной научной конференции (14-16 октяб- ря 2020 г., г. Минск, Белорусский государственный университет). - Минск: БГУ, 2020. - С. 45-50.
18. Михеев, Н. Н., Никоноров, И. М., Петров, В. И., Степович, М. А. Определение электрофизических параметров полупроводников в растровом электронном микроскопе методами наведенного тока и катодолюминесценции // Известия АН СССР. Серия физическая. - 1990. - T. 54, No 2. - C. 274-280.
19. Михеев, Н. Н., Петров, В. И., Степович, М. А. Количественный анализ материа- лов полупроводниковой оптоэлектроники методами растровой электронной мик- роскопии // Известия РАН. Серия физическая. - 1991. - T. 55, No 8. - C. 1474- 1482.
20. Михеев, Н. Н., Степович, М. А. Распределение энергетических потерь при взаи- модействии электронного зонда с веществом // Заводская лаборатория. Диагно- стика материалов. - 1996. - Т. 62, No 4. - С. 20-25.
21. WITTRY, D. B., KYSER, D. F. (1967) Measurements of diffusion lengths in direct- gap semiconductors by electron beam excitation. J. Appl. Phys. 38(1). p. 375-382.
22. KYSER, D. F., WITTRY, D. B. (1967) Spatial distribution of excess carriers in electron-beam excited semiconductors. J. Proc. IEEE. 55(3). p. 733-734.
23. RAO-SAHIB, T. S., WITTRY, D.B. (1969) Measurements of diffusion lengths in p-type gallium arsenide by electron beam excitation. J. Appl. Phys. 40(9). p. 3745-3750.
24. ROOSBROECK, VAN W. (1955) Injected current transport in semi-infinite semiconductor and determination of lifetimes and surface recombination velosities. J. Appl. Phys. 26(1). p. 380-387.
25. Белов, А. А., Петров, В. И., Степович, М. А. Использование модели независимых источников для расчета распределений неосновных носителей заряда, генериро- ванных в полупроводниковом материале электронным пучком // Известия РАН. Серия физическая. - 2002. - Т. 66, No 9. - С. 1317-1322.
26. Степович, М. А., Снопова, М. Г., Хохлов, А. Г. Использование модели независи- мых источников для расчёта распределения неосновных носителей заряда, гене- рированных в двухслойном полупроводнике электронным пучком // Прикладная физика. - 2004. - No 3. - С. 61-65.
27. STEPOVICH, M. A., KHOKHLOV, A. G., SNOPOVA, M. G. (2004) Model of independent sources used for calculation of distribution of minority charge carriers generated in two-layer semiconductor by electron beam. Proc. SPIE. 5398. p. 159-165.
28. Burylova, I. V., Petrov, V. I., Snopova, M. G., Stepovich, M. A. Mathematical simulation of distribution of minority charge carriers, generated in multy-layer semiconducting structure by a wide electron beam // Физ. и техн. полупровод- ников. - 2007. - Т. 41, вып. 4. - С. 458-461.
29. Снопова, М. Г., Бурылова, И. В., Петров, В. И., Степович, М. А. Анализ моде- ли распределений неосновных носителей заряда, генерированных в трёхслойной полупроводниковой структуре широким электронным пучком // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2007. - No 7. - С. 1-6.
30. Степович, М. А., Серегина, Е. В., Калманович, В. В. О некоторых аспектах мате- матического моделирования процессов тепломассопереноса, обусловленного об- лучением киловольтными электронами // Сборник материалов ХХХ Крымской осенней математической школы-симпозиума по спектральным и эволюционным задачам (17-29 сентября 2019 г., пос. Батилиман, Республика Крым, Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского). - Симферополь: Полипринт, 2019. - С. 282-285.
31. Серегина, Е. В., Калманович, В. В., Степович, М. А. О моделировании распре- делений неосновных носителей заряда, генерированных широким электронным пучком в многослойных планарных полупроводниковых структурах // Поверх- ность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2020. - No 7. - С. 69-74.
32. Калманович, В. В., Серегина, Е. В., Степович, М. А. Математическое моделиро- вание явлений тепломассопереноса, обусловленных взаимодействием электрон- ных пучков с многослойными планарными полупроводниковыми структурами // Известия РАН. Серия физическая. - 2020. - Т. 84, No 7. - С. 1020-1026.
33. KALMANOVICH, V. V., SEREGINA, E. V., STEPOVICH, M. A. (2020) Comparison of analytical and numerical modeling of distributions of nonequilibrium minority charge carriers generated by a wide beam of medium-energy electrons in a two-layer semiconductor structure. Journal of Physics: Conf. Series. Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. 1479. p. Art. No. 012116.
34. Степович, М. А., Калманович, В. В., Серегина, Е. В. О возможности приложе- ния матричного метода к моделированию катодолюминесценции, обусловленной широким электронным пучком в планарной многослойной полупроводниковой структуре // Известия РАН. Серия физическая. - 2020. - Т. 84, No 5. - С. 700- 703.
